闲话对偶（二）

（对偶重叠）

对偶这个词并不仅为数学所有。对偶性的概念，古今中外，在哲学、语言、美术、音乐、宗教、建筑、物理、数学等不同领域炒了几千年。可能因为语言的原因，我们中国人对对偶更是情有独衷。不过，不少国人把对偶等价为对应、对比、对立、对仗。谈文论词的人，有的就直接说对偶就是对仗。还有人更把对偶简化为成双成对的同意词。

刘勰的《文心雕龙》有“造物赋形，支体必双；神理为用，事不孤立。大心生文辞，运裁百虑，高下相须，自然成对”之说。虽然刘勰在评说文之道，但第一句却更是概谈自然造化，天理人伦。倒是比现在很多“学者”更深刻。

数学以外的对偶多包含美学方面的含义和手法。中国诗词文法讲音韵形意、变化对比；哲学讲真真假假、生生灭灭、因果起源、天律人道；国画书法讲黑白浓淡、枯润干湿、抑扬顿挫；色彩素描讲冷暖明暗、虚实强弱。这些例子，大部分也是关于比较直观的两极对应或相关对比，同时在两极之间留下很大的空间，容纳更细腻的变化对比层次。

数学的对偶性的也讲“对”。一个对偶定理通常包涵两个对偶量，例如“极小极大值”和“极大极小值”、“线匹配”和点“覆盖”，“独立集”和“完全集”，“点”和“线”，一个凸多面体和它的对偶多面体等等。但数学的对偶定理中涉及到对偶量或对偶的实体，通常并不显而易见，更多是隐藏于直观表面之下。

这有些类似色彩上的冷暖关系。一幅画色彩上的冷暖关系虽然肉眼可见，却并不肤浅。大多数人对色彩的冷暖更是相见不相识。一幅画的明暗对比构图分布固然重要，但冷暖才是色彩之所以漂亮、有空间、有颜色的真正原因。色彩的冷暖是认识上的一大飞跃。眼界高了，可以有很多神来之笔，在混沌中创造出意想不到的绚丽。

同样，研究一个数学问题，在很多时候，首先要找出来是最能够揭示问题的本质的性质或量。如果你找到了与问题本质有关的属性或数量，也许离问题的解决就不远了。所以了解欣赏一个数学的对偶定理，定理里面的对偶量就是首先值得揣摩的地方。同时，也是学习了解数学的思维方式和探索解决问题方法的好起点。

顶上的图形，取自于我用Photoshop手画的一个图案的细节，用了Difference过滤，也相当于无数的对偶变换重叠。表面上很复杂。但一旦了解了Photoshop这个过滤所用的算法，就可以做系列的分解。

上面提到的数学对偶性中的对偶量的例子，都是有关问题中与问题的更本性质有关。后面还会仔细介绍。下面，会用数学的第一个对偶定理的对偶量做我们的第一个例子。