朋友

一时不查，有些怀旧。涂涂划划，朦胧中又看到少年时候的自己，和两个最知心的朋友，一起寻寻觅觅，一起做白日梦，一起努力想把期望和幻想变成现实。

当初少年轻狂，从初中到高中，从大学到工作，再到取妻生子，成家立业，无意中也曾经给一方父老留下些大大小小的故事。或好笑，或尴尬，重逢的茶余饭后偶尔再提旧事，一阵好笑中，也免不了些许感叹。毕竟记忆里仿佛还是昨天的事情，事实上已经很遥远了。

只是，感叹之余也有很多欣慰。当年的理解和友情，一直没变。时间长了，倒有些象陈年老酒，越来越香醇。。。

秋凉

画完这幅画，想起当年拜托老毛和众多阶级觉悟超高的革命群众关照，早早脱离年少不知愁的愚昧，向“欲说还休”的境界迅速靠拢。长此以往，对不知珍惜好歹的人，同情心就不免大打折扣。

几年前，在一家媒体公司负责媒体技术的集成和应用。当时公司在底特律分部的七、八百人，基本上都是为福特做各种媒体的广告和宣传。那时候除了和一帮美工设计和写稿的家伙们纠缠不休外，带着人搞些内容管理和客户数据收集、处理之类的东西。如果今天你去查福特的新车的性能和价钱，那些网站的背后跑的基本上还是我当年带人搞的东西。

因为有个哥们当时正在密西根大学作曲系修博，经常通过他搞些学生票去看看来密大音乐学院演出的各路神仙。密大音乐学院全美顶呱呱，来访者里牛人众多，象当年的卡拉扬，后来的小泽征尔、马友友等。柏林交响乐团这样平时几百刀都难听到的好事，在密大十五、二十刀就搞定，不去实在是对不起自己。

一来一去，认识了一些密大的学生和校友。其中一位小弟，给我印像深刻。小青年二十六、七，在国内读完一个硕士后，在密大两年修得正果，又拿到一个硕士学位，并且马上在附近一家大公司找到一份专业对口的设计工作。

照理来说，他一个人年薪八、九万，无牵无挂，正是挥霍大好青春的时侯。不幸的是，这小弟每天的业余爱好就一件事，整天唧唧歪歪，愤愤然对前后左右上上下下都觉不爽。只要一见面，就要痛说个人最新悲惨遭遇，从当年国内的导师到今天的美国老板，通通骂个狗血喷头。

多听几次，大家都没脾气了。无奈中，我也企图用革命前辈的命运为例开拓他的胸怀。我的一个大师兄，八三年来美，抗战六年，八九年拿到博士学位。毕业后找到一个年薪三万的工作，还只是个合同工（contractor)，就已经非常高兴了。当时还特地把一大帮师弟师妹请到家里大吃大喝。其实，大师兄那时大女儿刚上大学，小女儿也是紧跟在后，太太给人做些杂事。如此一家，这点工资真不是什么。但大师兄夫妇两个都是知青出身，能知足。

本来希望这位小弟能从大师兄一类的例子里找出一点可以安慰他自己的东西。结果却完全无效，还是整天唉声叹气，对我们买辆跑车去泡泡妞一类的无良建议竟然都表示没有心情。最后，我们得出结论，他有病，有忧郁的病，应该去看医生了。只是记不得是否曾经委婉地向他表达过我们的观点。

但是，一年多以后，他没看医生，却也不再悲伤了。公司把他的工作外包出国，整个部门，包括他的老板，都失业了。当然他也难逃。刚失业后的一段时间，他白天找工作跑面试，晚上到UPS扛大包，生活整个一个充实。

后来一次听音乐会又见到他，开玩笑问为什么现在不悲叹了，小弟居然深沉起来，说“我可能还是太青了一些吧”。（小孩子的屁股上常常有青斑，随着长大才逐渐消失。）

闲谈对偶（七）

《红尘痴迷》

有的朋友开玩笑，问数学的极大极小对偶理论在男女之间有什么解释、理论意义是什么、应用价值又何在。虽然这男女之事不是单靠数学就可以说清楚的，却也不乏一些有趣的说法。所以在开始介绍一些新的对偶定理以前，先胡扯几句闲话。

从数学的角度来说，一对自然量之所以成为对偶，不仅是因为它们有形式上的对偶，关键还是它们之间有极大极小息息相关的对偶关系。因为不是所有的关系都可以列为对偶性的关系，所以，如果要用对偶性来解释男人和女人之间的纠缠，首先要回答的，是存在性的问题。也就是说，这男女之间究竟有没有真正的极大极小对偶关系？

相对后面的问题而言，这个存在性问题几乎是白给，几个例子就够了。比如常人所说的男人怕老婆，或者是四川人说的“耙耳朵”，就是一个很方便的例子。按不少四川男人的逻辑，耳朵越“耙”，爱心越大。一个丈夫的耳朵的最小“强度”，等于他对老婆的最大热爱。如果和我们以后将提到的对偶定理比较，你会看到这个“耙耳朵定理”完全满足极大极小对偶定理的形式。

再用“情人眼里出西施”作例子。落入情网的人，无非是让对方的某些方面对上了自己的眼而已。人无完人，一好遮百丑却是可能。用数学化的对偶语言来说，这就是“一个人对情人的整体评价的客观性极小化，等于他（她）对情人的个别品性评价的主观性极大化”。这也有极大极小对偶定理的典型形式。所以，“情人眼里出西施”的背后，其实是这样一个极大极小对偶“西施定理”。

男女间的极大极小对偶关系的存在性问题解决以后，剩下的一大难题，是独立性或记数的问题，就是在这男女之间，究竟有多少不同的对偶性的关系。天下男女千千万万，从古到今上演出无数爱恨情仇、悲欢离和的故事。千百年来多少文人骚客劳心漓血编编造造，至今还未能穷尽。能不能用有限的几个对偶关系来完全概括描述这男女之间的千古话题，是个大大的问题，不过，如果意识到这包纳万象的三维空间其实也只需要三个独立的X、Y、Z数轴就可以完全刻划，这男男女女牵牵扯扯的一路人生，也不是完全没有希望会有些更理智的解答。

对偶性的理论价值，不妨留待后人评说。应用价值，却处处可见。俗话说萝卜青菜，各有所爱。对同一个人，有的人见了就爱得死去活来，有的人朝夕相处却永远无动于衷，有的人更是躲之不及。有意或无意，我们总是给见到的每一个人打打分、归归类，哪怕是极端到在一瞬间对谁谁谁不耻一顾，或对谁谁谁视为天人。就是这些形形色色极大化或者极小化后的偏爱或偏见，带来人间无数的欢喜鸳鸯、痴男冤女。。。一切的一切，都和前面提到的“西施定理”有关。

闲话到此为止，强做严肃的脸都有些酸痛了，现在可以偷笑几声。这张小画，算是为天下痴情男女存一个小照。人生一世，岁月苦短，缘来缘去，各有几番滋味在心头。。。

夏日飘歌

这幅画的是四川西北部藏区的印象。

从小在悠闲散漫的成都长大，太多的平淡无奇。四川的风土人情，对我有吸引力的几个地方里，川西北藏区算一个。

小时侯的长辈和熟人里面，很多喜欢去阿坝、红原、若尔盖等地采风，带回来很多写生的画和故事。不同的风光，不同的民俗，不同的色彩，一丝丝神秘的诱惑，就在心里慢慢产生。

后来终于有机会自己去走走，更是流连忘返。

第一次去川西北的时候，刚开始和后来的太太谈恋爱。一个人在高原上餐风饮露十几天。回来后马上去女生宿舍报个到。后来太太说，看到我晒得红黑黝亮的样子，马上想到的是：“嫁了！”

闲谈对偶（六）

(淡彩花卉)

这幅画是拿家里桌子上的花草做一个三维到二维空间的“淡彩白描”投影。我这里当然是比传统的白描“花哨”的多，零八年了嘛，加些时代感。如果你能从这幅画上看出花草的话，下面的四维多面体投影是一个道理，但老实简单的多，对你应该是小菜一碟。

根据前面的叙述，到了十六世纪，人们已经把传统意义下的正多面体的存在性和它们的对偶都已经了解了。下面我们把更广泛意义下的正多面体和它们的对偶交代完。

到了十九世纪的时候，三维空间已经不能禁锢人们的思想，人类开始更高层次的狂想。多维空间的鼻祖之一的施莱夫利（Schläfli）发现了四维空间里的凸正多面体，并且证明刚好有六个。其中的五个可以看成是四维的柏拉图立体（见《闲谈对偶（五）》），另一个则在三维空间里没有对应的柏拉图立体。

下面是把这六个四维的怪物用透视投影的方式放到我们肉眼能见的三维空间里的“样子”。

在上面的六个四维正多面体中，第一个和第四个自己是自己的对偶；第二个第三互为对偶；第五和第六也互为对偶。下面是与三维空间里的正多面体没有“对应”的“24-Cell”(上图里的第四个)在三维空间里更直观的“投影”：

也许，大家会觉得看到数学家走火入魔的迹象。四维空间听起来麻烦，其实，我们都很习惯三维到二维的投影。 上面这些图形和国画的白描很类似，都是高维空间的立体借用点线和几何透视在低维的空间里的投影。上面的示意图里的点和线都对应四维空间里的点和线。

在四维以上的空间里，施莱夫利把剩下的麻烦全部解决了。他证明了每个四维以上的空间恰好只有三个“凸正多面体”。它们相当于三维空间里的正四面体、正六面体、和正八面体。其中与正四面体对应的自己是自己的对偶；其余对应于正六面体和正八面体的两个相互对偶。

施莱夫利还证明了，四维空间以上没有非凸的正多面体裁。而在四维空间里，一共有十个非凸的正多面体。用前面提到过的透视投影方法，下面是这些非凸的四维正多面体在三维空间里的样子。

所以，除了一维和二维空间以外，我们已经把三维以上的所有正多面体和它们之间的对偶关系交代完了。下面我们把一维和二维的补上。

一维空间里只有点线而没有面，一维空间的正多面体是任何一条直线。那里的面就是两端点。因为两个端点在同一条线上，所以线的对偶就是它自己。而二维空间的正多面体就多了。所有的等边形都可以算是。而且它们的对偶也是自己。下面的图显示的就是二维的正四边形的对偶性质。你自己可以画画别的，例如正五边形等。

到此为止，在正多面体的存在性和对偶性上，我们规规矩矩地走马观花，到此为止。其实，如果深入到具体的证明和构造中，还有更多让人赞叹其漂亮、优美、细腻、奇异的地方。这也是为什么几何总是趣味数学的热闹题目之一。

不厌其烦的把一维到高维空间的所有凸的和非凸的正多面体都列出来，一是因为这里提到的很多奇异的几何体都是所谓“数学美术”的对象，很有些视觉趣味，可以在很多书和网页里看到它们。

二是在这个题目的发展过程里中可以看到一些理论数学发展的痕迹。例如它关心的问题等：一种性质是否在一定的对象上存在、如果存在又在什么样的具体对象的上出现、同样的概念和性质有怎样推广等等。

三是和正多面体本身的对称相比，这里介绍的几何体的对偶性概念比直观的几何体的对称是更高一级的抽象关系。这也是让我们真正感兴趣的关系。

闲谈对偶（五）

（新几何）

前面我们引出了正多面体的对偶关系这样一个概念。现在看些和它的对偶性有关的发展。

现代数学在古希腊文明中已具雏形。那时候的人比较呆板。柏拉图和他的弟子们在数学上表现出来的爱好和兴趣，和在艺术和哲学一样，崇尚自然，追求唯美与理性，鄙视应用。

古希腊的人看到空间中的几何体，首先挖掘的是它们在高度对称中蕴涵的唯美性。研究的是这世界上究竟有多少这样的几何体，有什么样的对偶等等。前前后后花了几百年，到柏拉图的时候算是搞清楚了。不多，只有下面的五个“柏拉图立体”。

这些立体都是些正多面体。其中正四面体自恋情结重一点，自己是自己的对偶；正六面体和正八面体互为对偶；正十二面体和正二十面体则同为一家人。

看看这些大苯块，比比同时期古希腊艺术的代表作《扔铁饼的人》，我们几乎可以用一样的词汇来描绘这些柏拉图立体和雕塑：丰满厚实、平稳对称、简单明确、完美纯粹；也可以想象出当时的数学家和艺术家在工作和辩论中同样执着到狂热的表情。。。

到了十六世纪，人们的思想开化复杂一些了，开普勒说你只想到了凸的正多面体，如果允许多面体凹下去，还有下面显示的四个“开普勒一泊洼松多面体”，而且正好成为两对对偶。

在上面的图里，第一个和第二个互为对偶，第三个和第四个互为对偶。这几个多面体，看上去也是更有趣一些吧。现在去一些美术馆博物馆，还能买到它们做的装饰品。

如果看看下面这张开普勒自己的肖像，也许你就可以理解为什么他能够发现这些奇形怪状的东西。

这条线一直走到十九世纪才算完结。下回补完。

结束以前，解释一点顶上的画。以前中外老祖宗们无限尊敬的几何，在现代人的手下已经玩出太多的花样，面目全非了。这幅涂鸦名曰《新几何》，是以它代表今日几何的风骚和“变态”。与上面的“老几何”比较，今日几何脂粉味浓重多多。有人要说人心不古，也不算过分。我这算试一试表达现代艺术和现代科学之间的瓜葛:)

闲谈对偶（四）

（昔日斑斓）

在看其它极小极大对偶定理以前，先放松一下，看些比较直观的老古董几何对偶关系。上面这幅画，算是配合一下这里的思古幽情。历史长河上上下下，昔日斑斓，任由今人各取所需。

之所以说是老古董，是以为下面提到的东西确实已是昨日黄花，里面没有多少可研究、有意义的东西了。有人把它们划分成“娱乐数学”，也不无道理。当然，从它们演生出来的其它分枝还是有继续热闹的，比如群论、编码等。

在几何里，多面体是指由一些直线和平面围起来的几何形体。一个多面体是正多面体如果它的每个面都是一个等边形，就象下面的例子。

拿一个正多面体，在它的每个平面的中心画一个点。如果两个平面相邻，有公共的边，就在这两个面的点之间连一条线。这些新的点和线会构造出一个新的多面体（仔细想想，这并不是很显然的事）。这个新多面体就叫原来的多面体的对偶多面体。

这里看一个具体的例子。一个等边四方体，也是一个正六面体。按上面描述的方法，你可以发现正六面体的对偶多面体是一个正八面体。就象下面的图一样，左边是原来的四方体，右边是放大了的它的正八面对偶多面体。

现在，我们画画这个八面体的对偶，也就是做我们在六面体上做过的事，在每个面上画个点，然后每两个相邻面上的点之间画条线。试一试你就会看到，我们又得到一个正六面体。

这当然不是偶然。如果不在乎长度和面积，你在正六面体上看到的就是“正凸多面体”的“对偶的对偶是自身”的对偶关系。

和前面提到的极小极大对偶定理相比，这种正多面体之间的对偶关系直接简单的多，人见人懂，动手试试就可以验证，即使要证明也不会太难，国内的中学生应该都能做得到。所以，这种对偶关系在一个多面体上只能说有趣。

真正有些意思的，是把它的更广泛的命题假设。例如有多少正多面体，都什么样，它们的对偶有是什么，对偶的多面体之间有些什么性质，还有别的类似的对偶关系没有等等。

所以说，数学和哲学常常就那么一线之差。在任何事情上，绝对是要刨根问底的。存在性肯定是第一要挖掘的，有没有一定要搞明白；起源和构成肯定不会放过，一定要看看怎么能构造出来；真伪的判别决不会含糊，要有办法鉴定的清清楚楚。

数学对的美学的崇拜，也决断不差于美术、音乐。凡事追求完美，简练。系统要完整，理论要丰富，形式要漂亮，证明要有节奏、方法要有创新、影响要深远、应用要广泛。。。我想，还是一句话，人做事，没有不求美的。差别，只是形式和认识的不同。

后面，我们走几条不同的路，从不同角度的看看多面体对偶的脸面，以避免盲人摸象的悲剧再演。当然这麻袋里买的瓜，瓤子里说的还是数学这东西也不只是拿来折腾人的，也可以玩味一番。