闲谈对偶 （三）

极小极大对偶定理，几乎是搞优化的人必然注目的结构，它们通常都有很“美”的表达、“漂亮”的证明、“广泛”的应用和“有效”的算法。神奇之处，不能不让人感叹大自然造化美妙。

数学的第一个对偶定理，是冯。诺伊曼（Von Neumann）一九二八年证明的对策论的二人零和搏弈极小极大定理。冯。诺伊曼开创性的对偶定理，不仅奠定了对策论的基础，更是给世界上无数的数学家和数学匠提供了饭碗。后者从每年发表的和对偶性有关的论文上就可以看到。在残酷的现实里，Tenure是要拿论文来换的。

在二人零和搏弈里，大家得到的好处加起来总是一个常数，和大家的策略方式无关。一个人得到的好处就是另一个人的损失。围棋象棋就是二人零和搏弈的典型例子。只是围棋象棋变化太多，一步之差后，最优的下法就可能会不同。没有人能记得住不同布局下的不同最优对策。哪怕是现在最大最快的计算机也不行。

下面是一个有趣的二人零和搏弈例子。特别之处，在于最好的策略和结果都一目了然，可以一步定乾坤。有趣的是，麻雀虽小，五脏俱全。它涉及到的思想方法、对偶量和对偶性分析，在对偶论里很典型，很有代表性。

这例子说的是两个饥饿的艺术家为分一块小烧饼争执。因为都不希望自己少吃，谁也不放心让对方来分这个饼。于是两人找到数学家，希望数学家有一个公平可信的办法让两人都能接受。数学家于是建议，由两人中的一个把饼分为两块，怎么分都可以，当然越有艺术性越好。而另一个则可以在分出来两块里任选一块，选择标准不限。

在数学家制定的规则下，两人应该怎么分这块饼？尽管艺术家不一定知道搏弈论的定理，但形象思维能力很强。可以先在纸上画个饼，试一试。当然这也是数学家的老一套：当基本命题太复杂而不知从何下手的时侯，先看看特例，缩小范围，减少复杂性。

如果稍微想一想，有一点可能很显然，那就是一旦第一个人把烧饼分开，他能得到多少完全在于第二个人的选择。所以第一个人在行动的时候必须首先考虑对方的行为。另一方面，如果第一个人切出大小不同的两块，那第二个人肯定会选大的一块，留给第一个人一块小的。

所以，如果分饼的人把饼分成两块，他应该让那块可能大一些的尽量的小，也应该让那块可能小一些的尽量的大。前者是为了尽量地减少可能的损失，即极小化最大损失（Minimize the maximum）。后者是尽量地争取可能的好处，既极大化最小利益（Maximize the minimum）。

这时候，也许你已经可以看出来，在数学家的规则下，不管由谁来分，最好的就是把烧饼分成同样大小的两块，一人一半。这样，两个人都得到最大可能的利益，而可能的损失则减到了最低。

这也就是冯。诺伊曼的对偶定理：在满足一定条件的零和搏弈中，有策略使搏弈的一方同时取得代表利益的极大极小值和代表损失的极小极大值。

冯。诺伊曼对偶定理的精华在于分析和思想方法的精妙有趣和它们给数学研究带来的深远影响。在分析烧饼的时候我们看到，在从不同的角度来考虑同一个问题的时候，我们可以把问题的目的叙述成两个完全背道相驰的对偶量分别的极大化和极小化。而精彩就在最后一瞬间的灿烂中：两个对偶量殊途同归，在一个点上相遇。

当然，话说回来，灿烂的前提是你要找对了对偶量。另外，要证明两个对偶量之间的关系也常常很难。好消息是，一旦你找对了并证明了对偶关系，你也很可能得到了一套一劳永逸的方法。这是后话。

回到题头的这幅画。这是从一幅照片的局部开始，用Photoshop处理，再加上一番手画。内容其实和对偶性没有什么直接关系。放在这里的原因，一来它是我在写这一段的时候画的，算是对偶性的“闲作”，副产品。二来是在作这幅画的过程里，也得到了一套方式，从此可以很快的搞出很多类似这样的画，大概十到二十分钟就可以搞定一幅。

这也算是体现了做数学的精神。数学家一般很懒，更关心的是一个方法、或一种分析方式能不能推而广之，放之四海皆准，一劳永逸。不然的话，如果每吃一个烧饼都要动脑筋，生活就太累人了。

闲话对偶（二）

（对偶重叠）

对偶这个词并不仅为数学所有。对偶性的概念，古今中外，在哲学、语言、美术、音乐、宗教、建筑、物理、数学等不同领域炒了几千年。可能因为语言的原因，我们中国人对对偶更是情有独衷。不过，不少国人把对偶等价为对应、对比、对立、对仗。谈文论词的人，有的就直接说对偶就是对仗。还有人更把对偶简化为成双成对的同意词。

刘勰的《文心雕龙》有“造物赋形，支体必双；神理为用，事不孤立。大心生文辞，运裁百虑，高下相须，自然成对”之说。虽然刘勰在评说文之道，但第一句却更是概谈自然造化，天理人伦。倒是比现在很多“学者”更深刻。

数学以外的对偶多包含美学方面的含义和手法。中国诗词文法讲音韵形意、变化对比；哲学讲真真假假、生生灭灭、因果起源、天律人道；国画书法讲黑白浓淡、枯润干湿、抑扬顿挫；色彩素描讲冷暖明暗、虚实强弱。这些例子，大部分也是关于比较直观的两极对应或相关对比，同时在两极之间留下很大的空间，容纳更细腻的变化对比层次。

数学的对偶性的也讲“对”。一个对偶定理通常包涵两个对偶量，例如“极小极大值”和“极大极小值”、“线匹配”和点“覆盖”，“独立集”和“完全集”，“点”和“线”，一个凸多面体和它的对偶多面体等等。但数学的对偶定理中涉及到对偶量或对偶的实体，通常并不显而易见，更多是隐藏于直观表面之下。

这有些类似色彩上的冷暖关系。一幅画色彩上的冷暖关系虽然肉眼可见，却并不肤浅。大多数人对色彩的冷暖更是相见不相识。一幅画的明暗对比构图分布固然重要，但冷暖才是色彩之所以漂亮、有空间、有颜色的真正原因。色彩的冷暖是认识上的一大飞跃。眼界高了，可以有很多神来之笔，在混沌中创造出意想不到的绚丽。

同样，研究一个数学问题，在很多时候，首先要找出来是最能够揭示问题的本质的性质或量。如果你找到了与问题本质有关的属性或数量，也许离问题的解决就不远了。所以了解欣赏一个数学的对偶定理，定理里面的对偶量就是首先值得揣摩的地方。同时，也是学习了解数学的思维方式和探索解决问题方法的好起点。

顶上的图形，取自于我用Photoshop手画的一个图案的细节，用了Difference过滤，也相当于无数的对偶变换重叠。表面上很复杂。但一旦了解了Photoshop这个过滤所用的算法，就可以做系列的分解。

上面提到的数学对偶性中的对偶量的例子，都是有关问题中与问题的更本性质有关。后面还会仔细介绍。下面，会用数学的第一个对偶定理的对偶量做我们的第一个例子。

闲话对偶（一）

( 线性对偶)

这幅“画”，是从以前拍的一幅野花照片变化来的。画面上有同时到达同一个地方却走势相反的两种趋势。这和数学里线性规划理论中的对偶理论和对偶性定理非常类似，就冠以其名。

根据线性规划理论，一个线性规划和它的对偶规划息息相关。它们的约束由“同一个”矩阵决定，目的一个求最大，一个求最小，目标函数的走势恰恰相反。而线性规划的对偶定理说，原规划和它的对偶规划同时具有有限最优解，而且最优值相同。

以前教书的时候，美术系就在数学系旁边。经常去认识的美术系的教授们那里串门。在美术系图书馆里转转，也会碰上些教过的学生。

美国大学的学生，数学好的不多。美术专业的学生，数学就更差。和其它教数学的教授比，我和他们多些共同语言。所以他们很多愿意在我的课上混几个必修的普通教育学分。结果慢慢地，我手下就很有了些美术系来的学生。

这些学生数学基础虽然差，但并不缺乏想象力。反正一板一眼地读数学书不是他们的强项，我就试着结合他们的背景，开些独立学习（Independent Study）的课。打着了解数学思想方法、欣赏数学理论的幌子，大家乱侃一通，期末一人给一个A，皆大欢喜。

当时讨论的若干话题中，对偶性就是我比较喜欢一个。

坐看云起时

第一次在北戴河见到大海，正遇上满月。晚上坐在礁石上望海，第一次知道月亮还可以那么大。以后和大海打的交道越来越多，海上走、海上行的时间也越来越长。最近从大西洋游到太平洋，算是真正到了天涯海角，水穷之处。

这张照片，拍在大西洋和太平洋交汇的德雷克海峡（Drake Passage）。这片地球上最遥远的海面在两天恶劣风浪后刚刚趋于平静。晚饭后在甲板上逗留，看夕阳缓缓西沉，觉得时空的度量好象都发生了改变。

德雷克海峡在南美洲和南极洲之间。其所在的纬度上，再没有其它的陆地。浩瀚的海面下，绕极环流无阻无挡、年复一年从这八百里宽的海峡流过。

四千一百万年以前，这里还是陆地，南美和南极连在一起，大西洋和太平洋相望不相闻。那时应该还没有人类，谈不上距离和时间。

四百多年前，英国人Francis Drake从旁边的麦哲伦海峡（Strait of Magellan）进到太平洋。这个他从没经过的海峡，却留下了他的名字。一六一六年荷兰人Willem Schouten执掌的Eendracht，是第一艘有记录通过这里的海船。那时侯，走这一趟不能用天做时间单位。

一百多年前，风帆快船来回纽约和旧金山之间，必经此地，往返要一百多天。一九一四年巴拿马运河开通之后，减少半个地球的距离，商船再也不需绕这么个大圈。

现在坐游轮从南美的左半腰绕到右半腰，一路花天酒地、游山玩水地走走停停，也就十几天的时间。只是不知再等几百、几千年，人们又如何走过这里？

酒足饭饱坐在甲板上看日落，朦胧中想到尽管世道无常，眼前这景色，应该和四、五百年前的海盗们和探险家们看到的一样。千百年以后，大概也还是这样。如此一想，再不恨人生苦短、不能与这悠悠天地共存；只叹当时无醇酒在手，不能和水天同醉:))

细节的趣味

常听大人评小孩说“大处看出息，小处见聪明”。搞艺术、做科研，好象也差不多。见过很多搞数学的大师，他们或者能找到繁琐细致异想天开的证明，或者高瞻远瞩开拓一门学科、奠定一番理论。也见过不少搞艺术的人，有的感觉好，有的技巧高。两者都具备的，或者已经功成名就，或者正在成“神”的路上磕磕碰碰的奔走。

画画弹琴，通常在细节中表现出各种技巧的无穷魅力。上面的插图，是以前用Phototshop处理过的一张照片的细节。单独放大开了来看，风格和原来的照片又有了很大的不同。在同一幅照片多取些不同的局部放大在墙上做装饰，又是另一种趣味。重复轰炸，可以带来更强烈和深刻的印象。

从另外一个角度来看，这些图实际上是一个软件的产品，大大有勃于传统艺术，并非灵感和技巧的产物，谈不上很多激情和意图之类的东西。虽然我在色彩、明暗对比、笔触大小和变化上加了一些人为选择，但本质上，这些还是“机械”法则的产物。不过，虽然计算机的程序很“呆板”，我觉得它们“画”出来的“笔触”也还算活泼吧。现在四下里一片白雪垲垲，这色彩上的一点点温暖和趣味，还是聊胜于无。再想一想真要用手画出来这一大墙的画面需要的时间，就觉得堕落也是有很充足的理由的:))

Fun from Detail

Here are some details from a previous photo touched using Photoshop. Since the original photo is blurry, after adjusting colors, and contrasts, I applied the Dry Brushes filter in Photoshop to make it more like a water color.

After posted the original photo, I noticed that actually the details have a lot of fun. The colors are much richer than the whole picture and also the fake pen strokes looks nice. I think arranging a few of them on a wall can really make a great deco element out of it.

So here is how it may look a like if you put them together :)) You can put them in a straight line, or put them in other layout.

For a long time I refused to do such "fake drawings". But now it look like an option that is not that terrible: think about how much time it can take to really paint something like that for a large wall! So I guess occasionally, I can spoil myself to do something like that ...

锦绣遍地

智利的最南端，是南半球的终点。从那里再往南，就只有坐船或飞机上南极了。

亲眼看到的南美和想象的很不一样。不论是山水还是植物，都比期望的漂亮许多。自然生态不知是保护得好，还是没那么多人破坏。在城市以外，很少现代污染。

去之前，朋友提醒要注意南美的天空。对我们这些生长在北半球的人，南半球的星空完全不同。有趣的是，在那里的时候一直没有遇上晴朗的夜空。倒是在地上，看到很多不一样的花草地貌，很有些惊艳之感，也算不虚一行。

身在其间的时候，还很是被寂天静野中默默无声的生命力感动了一把:)) 这幅照片回来做些“手脚”后，才觉得和记忆中的感受比较接近。

Brocade from the Nature

Southern Chile is the southernmost of the Earth. The only place left on south of the Earth is the Antarctic. I was quite surprised how beautiful and clean there is.

Before my trip to South America, my fiends told me that the sky would be very interesting to see there because one can never see the stars of the southern hemisphere from the northern hemisphere.

Unfortunately, even though we had many sunny days, I had never been able to see a staring sky during my trip. On the other hand, the nature under our feet are quite different and fascinating.

This picture was taking near a beach in southern Chile. It was a very touching experience to be surrounded by vivid life like this in a quite raining day. I edited it with Photoshop to match what left in my memory.

夏天的圣诞

南美的夏天在十二月里开始。虽然远处的山头上还有不少积雪，海边细雨中的这些闲花野草却是生机勃勃。胭红姹绿，可能这也是大地给自己的节日装饰吧。

这幅也用Photoshop处理、变换了一下。放大看看局部，虽然是“软件”所为，也还是很有意思，装饰味很浓。

Christmas in Summer

This photo was taken in Chile. It is interesting to see people celebrating Christmas in Summer.

Also touched this one with Photoshop. After applying the Dry Brush filter, the details looks interesting too.