如何按奖牌数为奥运排名 Olympics Ranking
我们中国人好竞争、好强的本性，绝对不比别的民族弱。随着奥运会的开始、进行，结束，这个什么什么第一的问题，也会变的有趣起来。
金牌拿得多的，会按金牌总数的名次来算；奖牌拿得多的，也会按奖牌总数来说。另找措辞的人，还会把什么国家人口，投入的人力财力，人民体育的普及、发展程度等等因素一起拿来说事。哪怕是同一个国家，不同的人都可以按自己的喜好偏褒找出点数据来说几句。当然，还有人会说对排名不在乎。
如果大家能把诸如政治、经济、文化、感情一类的东西临时放在一边，单纯按奥运会上得的奖牌数量来给参加奥运会的每个国家排个队的话，这就变成了一个很意思的数学问题。
简单的说，大家是想找出一种方式，能够根据一个国家得到的金牌、银牌和铜牌的数量，让任何两个国家之间都能比出“高低”来，而且在多个国家之间不会引出逻辑上的矛盾。
在直观上，如果一个国家A的金牌数，银牌数，铜牌数分别都不小于另一个国家B的金牌数，银牌数，铜牌数，那国家A的排名应该不比国家B的排名低。而且如果在这种情况下国家A的总奖牌数还比国家B的总奖牌数多的话，那国家A的排名一定应该比国家B高。
例如按这次奥运会8月15日的比赛结果，中国的金、银、铜牌数是26，9，6；美国的金、银、铜牌数是14，13，19；德国的金、银、铜牌数是8，2，4。很明显，中国和美国都应该排在德国的前面。但中美之间却不好说：中国的金牌比美国多，但银牌和铜牌却比美国少。中国的奖牌总数也比美国少。
这个例子说明，单纯的用同类奖牌相比，有些国家之间可以比，有些国家之间却没法比。而我们要的，就是一个排序的方法，它既能给所有的国家排出个高低，还要和上面提到的同类奖牌相比的次序一致。
在数学里，这个问题其实是一个典型的偏序集合全序化的问题。这里的的集合当然是所有参加奥运的国家，偏序关系是提到的同类奖牌相比的关系。所以叫偏序 (Partial Order)， 是因为这种关系只在集合的一部分的元素之间存在。现在的问题就是要找出一个新的关系， 它即包含现存的偏序，在整个集合上都存在，而且不会导出矛盾。这种序一般称为全序，或者线性序。
在实际生活里，数的大小就是一个方便的全序关系。所以大家通常算一个“总分”，然后用比“总分”的办法来排序。 如果让 J=金牌数，Y=银牌数，T=铜牌数，Z=总分，那我们就是要定义一个 Z=f(J，Y，Z) 的公式来给每个国家打个总分。下面就是一些可能的“总分”的公式和我推荐的一个公式。供大家开心。
1）按成者为王败者寇的心理，只认金牌，完全按夺金数排名，比较霸道。中国这次的目标，大概就是争取金牌总数的第一。相对的总分公式就是
Z = J
2）按“重在参与”的精神，是奖牌都算，无所谓金、银、铜、铁一视同仁，那总分公式就可以是
Z = J + Y + T
3）如果接受不同奖牌“质量”区别，我们可以给金牌算三分，银牌算两分，铜牌算一分，那总分公式可以是
Z = 3*J + 2*Y + T;
也可以按当初大、中学校内运动会的规则，给金牌四分，银牌两分，铜牌一分。那总分公式可以是
Z = 4*J + 2*Y + T
看见有的网友认为一块金牌当值三块银牌，一块银牌当值三块铜牌。那上面的公式就变成了
Z = 9*J + 3*Y + T
4）如果按照得奖者可能的经济收入来设定奖牌的价值，一般会很难办。因为这和具体的国家和项目有关，高的可以有上千万美元，低的几万，很难概况。但是如果看看各国奥委会给得奖者的奖金（网上的），却还是有迹可寻：
- 雅典奥运中国国家体委的奖励是金牌20万，银牌15万，铜牌8万。可以把上面的公式改写为
Z = 20*J + 15*Y + 8*T - 美国奥运代表团今年给金牌2.5万美元，金牌1.5万，铜牌是1万，于是可以用
Z = 2.5*J + 1.5*Y + T - 俄罗斯奥委会今年给每个金牌10万欧元、银牌6万欧元、铜牌4万欧元，用Z = 10*J + 6*Y +4* T ；
- 德国奥委会今年给金牌1.5万欧元、银牌1万欧元、铜牌7500欧元，用Z = 1.5*J + Y +0.75* T ；
- 澳大利亚奥委会今年给金牌13.5万元、银牌9万元、铜牌4.5万元，用Z = 13.5*J + 9*Y +4.5* T ；
- 日本奥委会今年给金牌19万元人民币、银牌12.5万元人民币、铜牌6.3万元人民币，用Z = 19*J + 12.5*Y +6.3* T ；
- 日本田协今年给金牌1000万日元，银牌600万日元，铜牌400万日元，用Z = 10*J + 6*Y +4* T 。
按8月15的奖牌结果，中国的总分都高于美国，除了按奖牌总数：
按金牌总数： 中国 = 26 〉美国 = 14；
按奖牌总数： 美国 = 46 〉中国 = 41 ；
按金牌算三分，银牌算两分，铜牌算一分：中国 = 102分〉美国 = 87分；
按金牌算四分，银牌算两分，铜牌算一分：中国 = 128分〉美国 = 101分；
按金牌算九分，银牌算三分，铜牌算一分：中国 = 267分〉美国 = 184分；
按各国奥委颁奖标准，中国的总分都是高于美国的总分。
现在，综合上面各国奥委会颁发奖金的情况，用点简单的统计学，可以得到一个下面的公式，它综合反映了各类奖牌在各国奥委会眼里的“价值”：
Z=16*J + 10.5*Y + 6* T
仔细看看，你会注意到这个公式还是比较接近金三银二铜一的比例，和直观的感觉比较合乎。再高深的理论，正确与否的一个检验标志就是是否清晰直观、简洁明了。所以，我觉得这个公式还是比较可用的。按这个公式，8月15日截止，中国的总分是546.5，美国的总分是474.5.
从前面提到到的偏序全序化的角度来看，上面的线性公式所有的系数都是正数，所以是个很简单的增函数，会保持前面提到的同类奖牌相比的偏序关系。
如果有闲，大家不妨试试按自己对各种奖牌的评判来算算这届奥运最终的排名。
奥运后加注：按上面的公式和奥运的最后结果，中国的总分是1204.5分，美国的总分是1191分。中国取得堂堂正正的第一！
