闲谈对偶（七）

《红尘痴迷》

有的朋友开玩笑，问数学的极大极小对偶理论在男女之间有什么解释、理论意义是什么、应用价值又何在。虽然这男女之事不是单靠数学就可以说清楚的，却也不乏一些有趣的说法。所以在开始介绍一些新的对偶定理以前，先胡扯几句闲话。

从数学的角度来说，一对自然量之所以成为对偶，不仅是因为它们有形式上的对偶，关键还是它们之间有极大极小息息相关的对偶关系。因为不是所有的关系都可以列为对偶性的关系，所以，如果要用对偶性来解释男人和女人之间的纠缠，首先要回答的，是存在性的问题。也就是说，这男女之间究竟有没有真正的极大极小对偶关系？

相对后面的问题而言，这个存在性问题几乎是白给，几个例子就够了。比如常人所说的男人怕老婆，或者是四川人说的“耙耳朵”，就是一个很方便的例子。按不少四川男人的逻辑，耳朵越“耙”，爱心越大。一个丈夫的耳朵的最小“强度”，等于他对老婆的最大热爱。如果和我们以后将提到的对偶定理比较，你会看到这个“耙耳朵定理”完全满足极大极小对偶定理的形式。

再用“情人眼里出西施”作例子。落入情网的人，无非是让对方的某些方面对上了自己的眼而已。人无完人，一好遮百丑却是可能。用数学化的对偶语言来说，这就是“一个人对情人的整体评价的客观性极小化，等于他（她）对情人的个别品性评价的主观性极大化”。这也有极大极小对偶定理的典型形式。所以，“情人眼里出西施”的背后，其实是这样一个极大极小对偶“西施定理”。

男女间的极大极小对偶关系的存在性问题解决以后，剩下的一大难题，是独立性或记数的问题，就是在这男女之间，究竟有多少不同的对偶性的关系。天下男女千千万万，从古到今上演出无数爱恨情仇、悲欢离和的故事。千百年来多少文人骚客劳心漓血编编造造，至今还未能穷尽。能不能用有限的几个对偶关系来完全概括描述这男女之间的千古话题，是个大大的问题，不过，如果意识到这包纳万象的三维空间其实也只需要三个独立的X、Y、Z数轴就可以完全刻划，这男男女女牵牵扯扯的一路人生，也不是完全没有希望会有些更理智的解答。

对偶性的理论价值，不妨留待后人评说。应用价值，却处处可见。俗话说萝卜青菜，各有所爱。对同一个人，有的人见了就爱得死去活来，有的人朝夕相处却永远无动于衷，有的人更是躲之不及。有意或无意，我们总是给见到的每一个人打打分、归归类，哪怕是极端到在一瞬间对谁谁谁不耻一顾，或对谁谁谁视为天人。就是这些形形色色极大化或者极小化后的偏爱或偏见，带来人间无数的欢喜鸳鸯、痴男冤女。。。一切的一切，都和前面提到的“西施定理”有关。

闲话到此为止，强做严肃的脸都有些酸痛了，现在可以偷笑几声。这张小画，算是为天下痴情男女存一个小照。人生一世，岁月苦短，缘来缘去，各有几番滋味在心头。。。

闲谈对偶（六）

(淡彩花卉)

这幅画是拿家里桌子上的花草做一个三维到二维空间的“淡彩白描”投影。我这里当然是比传统的白描“花哨”的多，零八年了嘛，加些时代感。如果你能从这幅画上看出花草的话，下面的四维多面体投影是一个道理，但老实简单的多，对你应该是小菜一碟。

根据前面的叙述，到了十六世纪，人们已经把传统意义下的正多面体的存在性和它们的对偶都已经了解了。下面我们把更广泛意义下的正多面体和它们的对偶交代完。

到了十九世纪的时候，三维空间已经不能禁锢人们的思想，人类开始更高层次的狂想。多维空间的鼻祖之一的施莱夫利（Schläfli）发现了四维空间里的凸正多面体，并且证明刚好有六个。其中的五个可以看成是四维的柏拉图立体（见《闲谈对偶（五）》），另一个则在三维空间里没有对应的柏拉图立体。

下面是把这六个四维的怪物用透视投影的方式放到我们肉眼能见的三维空间里的“样子”。

在上面的六个四维正多面体中，第一个和第四个自己是自己的对偶；第二个第三互为对偶；第五和第六也互为对偶。下面是与三维空间里的正多面体没有“对应”的“24-Cell”(上图里的第四个)在三维空间里更直观的“投影”：

也许，大家会觉得看到数学家走火入魔的迹象。四维空间听起来麻烦，其实，我们都很习惯三维到二维的投影。 上面这些图形和国画的白描很类似，都是高维空间的立体借用点线和几何透视在低维的空间里的投影。上面的示意图里的点和线都对应四维空间里的点和线。

在四维以上的空间里，施莱夫利把剩下的麻烦全部解决了。他证明了每个四维以上的空间恰好只有三个“凸正多面体”。它们相当于三维空间里的正四面体、正六面体、和正八面体。其中与正四面体对应的自己是自己的对偶；其余对应于正六面体和正八面体的两个相互对偶。

施莱夫利还证明了，四维空间以上没有非凸的正多面体裁。而在四维空间里，一共有十个非凸的正多面体。用前面提到过的透视投影方法，下面是这些非凸的四维正多面体在三维空间里的样子。

所以，除了一维和二维空间以外，我们已经把三维以上的所有正多面体和它们之间的对偶关系交代完了。下面我们把一维和二维的补上。

一维空间里只有点线而没有面，一维空间的正多面体是任何一条直线。那里的面就是两端点。因为两个端点在同一条线上，所以线的对偶就是它自己。而二维空间的正多面体就多了。所有的等边形都可以算是。而且它们的对偶也是自己。下面的图显示的就是二维的正四边形的对偶性质。你自己可以画画别的，例如正五边形等。

到此为止，在正多面体的存在性和对偶性上，我们规规矩矩地走马观花，到此为止。其实，如果深入到具体的证明和构造中，还有更多让人赞叹其漂亮、优美、细腻、奇异的地方。这也是为什么几何总是趣味数学的热闹题目之一。

不厌其烦的把一维到高维空间的所有凸的和非凸的正多面体都列出来，一是因为这里提到的很多奇异的几何体都是所谓“数学美术”的对象，很有些视觉趣味，可以在很多书和网页里看到它们。

二是在这个题目的发展过程里中可以看到一些理论数学发展的痕迹。例如它关心的问题等：一种性质是否在一定的对象上存在、如果存在又在什么样的具体对象的上出现、同样的概念和性质有怎样推广等等。

三是和正多面体本身的对称相比，这里介绍的几何体的对偶性概念比直观的几何体的对称是更高一级的抽象关系。这也是让我们真正感兴趣的关系。

闲谈对偶（五）

（新几何）

前面我们引出了正多面体的对偶关系这样一个概念。现在看些和它的对偶性有关的发展。

现代数学在古希腊文明中已具雏形。那时候的人比较呆板。柏拉图和他的弟子们在数学上表现出来的爱好和兴趣，和在艺术和哲学一样，崇尚自然，追求唯美与理性，鄙视应用。

古希腊的人看到空间中的几何体，首先挖掘的是它们在高度对称中蕴涵的唯美性。研究的是这世界上究竟有多少这样的几何体，有什么样的对偶等等。前前后后花了几百年，到柏拉图的时候算是搞清楚了。不多，只有下面的五个“柏拉图立体”。

这些立体都是些正多面体。其中正四面体自恋情结重一点，自己是自己的对偶；正六面体和正八面体互为对偶；正十二面体和正二十面体则同为一家人。

看看这些大苯块，比比同时期古希腊艺术的代表作《扔铁饼的人》，我们几乎可以用一样的词汇来描绘这些柏拉图立体和雕塑：丰满厚实、平稳对称、简单明确、完美纯粹；也可以想象出当时的数学家和艺术家在工作和辩论中同样执着到狂热的表情。。。

到了十六世纪，人们的思想开化复杂一些了，开普勒说你只想到了凸的正多面体，如果允许多面体凹下去，还有下面显示的四个“开普勒一泊洼松多面体”，而且正好成为两对对偶。

在上面的图里，第一个和第二个互为对偶，第三个和第四个互为对偶。这几个多面体，看上去也是更有趣一些吧。现在去一些美术馆博物馆，还能买到它们做的装饰品。

如果看看下面这张开普勒自己的肖像，也许你就可以理解为什么他能够发现这些奇形怪状的东西。

这条线一直走到十九世纪才算完结。下回补完。

结束以前，解释一点顶上的画。以前中外老祖宗们无限尊敬的几何，在现代人的手下已经玩出太多的花样，面目全非了。这幅涂鸦名曰《新几何》，是以它代表今日几何的风骚和“变态”。与上面的“老几何”比较，今日几何脂粉味浓重多多。有人要说人心不古，也不算过分。我这算试一试表达现代艺术和现代科学之间的瓜葛:)

闲谈对偶（四）

（昔日斑斓）

在看其它极小极大对偶定理以前，先放松一下，看些比较直观的老古董几何对偶关系。上面这幅画，算是配合一下这里的思古幽情。历史长河上上下下，昔日斑斓，任由今人各取所需。

之所以说是老古董，是以为下面提到的东西确实已是昨日黄花，里面没有多少可研究、有意义的东西了。有人把它们划分成“娱乐数学”，也不无道理。当然，从它们演生出来的其它分枝还是有继续热闹的，比如群论、编码等。

在几何里，多面体是指由一些直线和平面围起来的几何形体。一个多面体是正多面体如果它的每个面都是一个等边形，就象下面的例子。

拿一个正多面体，在它的每个平面的中心画一个点。如果两个平面相邻，有公共的边，就在这两个面的点之间连一条线。这些新的点和线会构造出一个新的多面体（仔细想想，这并不是很显然的事）。这个新多面体就叫原来的多面体的对偶多面体。

这里看一个具体的例子。一个等边四方体，也是一个正六面体。按上面描述的方法，你可以发现正六面体的对偶多面体是一个正八面体。就象下面的图一样，左边是原来的四方体，右边是放大了的它的正八面对偶多面体。

现在，我们画画这个八面体的对偶，也就是做我们在六面体上做过的事，在每个面上画个点，然后每两个相邻面上的点之间画条线。试一试你就会看到，我们又得到一个正六面体。

这当然不是偶然。如果不在乎长度和面积，你在正六面体上看到的就是“正凸多面体”的“对偶的对偶是自身”的对偶关系。

和前面提到的极小极大对偶定理相比，这种正多面体之间的对偶关系直接简单的多，人见人懂，动手试试就可以验证，即使要证明也不会太难，国内的中学生应该都能做得到。所以，这种对偶关系在一个多面体上只能说有趣。

真正有些意思的，是把它的更广泛的命题假设。例如有多少正多面体，都什么样，它们的对偶有是什么，对偶的多面体之间有些什么性质，还有别的类似的对偶关系没有等等。

所以说，数学和哲学常常就那么一线之差。在任何事情上，绝对是要刨根问底的。存在性肯定是第一要挖掘的，有没有一定要搞明白；起源和构成肯定不会放过，一定要看看怎么能构造出来；真伪的判别决不会含糊，要有办法鉴定的清清楚楚。

数学对的美学的崇拜，也决断不差于美术、音乐。凡事追求完美，简练。系统要完整，理论要丰富，形式要漂亮，证明要有节奏、方法要有创新、影响要深远、应用要广泛。。。我想，还是一句话，人做事，没有不求美的。差别，只是形式和认识的不同。

后面，我们走几条不同的路，从不同角度的看看多面体对偶的脸面，以避免盲人摸象的悲剧再演。当然这麻袋里买的瓜，瓤子里说的还是数学这东西也不只是拿来折腾人的，也可以玩味一番。

闲谈对偶 （三）

极小极大对偶定理，几乎是搞优化的人必然注目的结构，它们通常都有很“美”的表达、“漂亮”的证明、“广泛”的应用和“有效”的算法。神奇之处，不能不让人感叹大自然造化美妙。

数学的第一个对偶定理，是冯。诺伊曼（Von Neumann）一九二八年证明的对策论的二人零和搏弈极小极大定理。冯。诺伊曼开创性的对偶定理，不仅奠定了对策论的基础，更是给世界上无数的数学家和数学匠提供了饭碗。后者从每年发表的和对偶性有关的论文上就可以看到。在残酷的现实里，Tenure是要拿论文来换的。

在二人零和搏弈里，大家得到的好处加起来总是一个常数，和大家的策略方式无关。一个人得到的好处就是另一个人的损失。围棋象棋就是二人零和搏弈的典型例子。只是围棋象棋变化太多，一步之差后，最优的下法就可能会不同。没有人能记得住不同布局下的不同最优对策。哪怕是现在最大最快的计算机也不行。

下面是一个有趣的二人零和搏弈例子。特别之处，在于最好的策略和结果都一目了然，可以一步定乾坤。有趣的是，麻雀虽小，五脏俱全。它涉及到的思想方法、对偶量和对偶性分析，在对偶论里很典型，很有代表性。

这例子说的是两个饥饿的艺术家为分一块小烧饼争执。因为都不希望自己少吃，谁也不放心让对方来分这个饼。于是两人找到数学家，希望数学家有一个公平可信的办法让两人都能接受。数学家于是建议，由两人中的一个把饼分为两块，怎么分都可以，当然越有艺术性越好。而另一个则可以在分出来两块里任选一块，选择标准不限。

在数学家制定的规则下，两人应该怎么分这块饼？尽管艺术家不一定知道搏弈论的定理，但形象思维能力很强。可以先在纸上画个饼，试一试。当然这也是数学家的老一套：当基本命题太复杂而不知从何下手的时侯，先看看特例，缩小范围，减少复杂性。

如果稍微想一想，有一点可能很显然，那就是一旦第一个人把烧饼分开，他能得到多少完全在于第二个人的选择。所以第一个人在行动的时候必须首先考虑对方的行为。另一方面，如果第一个人切出大小不同的两块，那第二个人肯定会选大的一块，留给第一个人一块小的。

所以，如果分饼的人把饼分成两块，他应该让那块可能大一些的尽量的小，也应该让那块可能小一些的尽量的大。前者是为了尽量地减少可能的损失，即极小化最大损失（Minimize the maximum）。后者是尽量地争取可能的好处，既极大化最小利益（Maximize the minimum）。

这时候，也许你已经可以看出来，在数学家的规则下，不管由谁来分，最好的就是把烧饼分成同样大小的两块，一人一半。这样，两个人都得到最大可能的利益，而可能的损失则减到了最低。

这也就是冯。诺伊曼的对偶定理：在满足一定条件的零和搏弈中，有策略使搏弈的一方同时取得代表利益的极大极小值和代表损失的极小极大值。

冯。诺伊曼对偶定理的精华在于分析和思想方法的精妙有趣和它们给数学研究带来的深远影响。在分析烧饼的时候我们看到，在从不同的角度来考虑同一个问题的时候，我们可以把问题的目的叙述成两个完全背道相驰的对偶量分别的极大化和极小化。而精彩就在最后一瞬间的灿烂中：两个对偶量殊途同归，在一个点上相遇。

当然，话说回来，灿烂的前提是你要找对了对偶量。另外，要证明两个对偶量之间的关系也常常很难。好消息是，一旦你找对了并证明了对偶关系，你也很可能得到了一套一劳永逸的方法。这是后话。

回到题头的这幅画。这是从一幅照片的局部开始，用Photoshop处理，再加上一番手画。内容其实和对偶性没有什么直接关系。放在这里的原因，一来它是我在写这一段的时候画的，算是对偶性的“闲作”，副产品。二来是在作这幅画的过程里，也得到了一套方式，从此可以很快的搞出很多类似这样的画，大概十到二十分钟就可以搞定一幅。

这也算是体现了做数学的精神。数学家一般很懒，更关心的是一个方法、或一种分析方式能不能推而广之，放之四海皆准，一劳永逸。不然的话，如果每吃一个烧饼都要动脑筋，生活就太累人了。

闲话对偶（二）

（对偶重叠）

对偶这个词并不仅为数学所有。对偶性的概念，古今中外，在哲学、语言、美术、音乐、宗教、建筑、物理、数学等不同领域炒了几千年。可能因为语言的原因，我们中国人对对偶更是情有独衷。不过，不少国人把对偶等价为对应、对比、对立、对仗。谈文论词的人，有的就直接说对偶就是对仗。还有人更把对偶简化为成双成对的同意词。

刘勰的《文心雕龙》有“造物赋形，支体必双；神理为用，事不孤立。大心生文辞，运裁百虑，高下相须，自然成对”之说。虽然刘勰在评说文之道，但第一句却更是概谈自然造化，天理人伦。倒是比现在很多“学者”更深刻。

数学以外的对偶多包含美学方面的含义和手法。中国诗词文法讲音韵形意、变化对比；哲学讲真真假假、生生灭灭、因果起源、天律人道；国画书法讲黑白浓淡、枯润干湿、抑扬顿挫；色彩素描讲冷暖明暗、虚实强弱。这些例子，大部分也是关于比较直观的两极对应或相关对比，同时在两极之间留下很大的空间，容纳更细腻的变化对比层次。

数学的对偶性的也讲“对”。一个对偶定理通常包涵两个对偶量，例如“极小极大值”和“极大极小值”、“线匹配”和点“覆盖”，“独立集”和“完全集”，“点”和“线”，一个凸多面体和它的对偶多面体等等。但数学的对偶定理中涉及到对偶量或对偶的实体，通常并不显而易见，更多是隐藏于直观表面之下。

这有些类似色彩上的冷暖关系。一幅画色彩上的冷暖关系虽然肉眼可见，却并不肤浅。大多数人对色彩的冷暖更是相见不相识。一幅画的明暗对比构图分布固然重要，但冷暖才是色彩之所以漂亮、有空间、有颜色的真正原因。色彩的冷暖是认识上的一大飞跃。眼界高了，可以有很多神来之笔，在混沌中创造出意想不到的绚丽。

同样，研究一个数学问题，在很多时候，首先要找出来是最能够揭示问题的本质的性质或量。如果你找到了与问题本质有关的属性或数量，也许离问题的解决就不远了。所以了解欣赏一个数学的对偶定理，定理里面的对偶量就是首先值得揣摩的地方。同时，也是学习了解数学的思维方式和探索解决问题方法的好起点。

顶上的图形，取自于我用Photoshop手画的一个图案的细节，用了Difference过滤，也相当于无数的对偶变换重叠。表面上很复杂。但一旦了解了Photoshop这个过滤所用的算法，就可以做系列的分解。

上面提到的数学对偶性中的对偶量的例子，都是有关问题中与问题的更本性质有关。后面还会仔细介绍。下面，会用数学的第一个对偶定理的对偶量做我们的第一个例子。

闲话对偶（一）

( 线性对偶)

这幅“画”，是从以前拍的一幅野花照片变化来的。画面上有同时到达同一个地方却走势相反的两种趋势。这和数学里线性规划理论中的对偶理论和对偶性定理非常类似，就冠以其名。

根据线性规划理论，一个线性规划和它的对偶规划息息相关。它们的约束由“同一个”矩阵决定，目的一个求最大，一个求最小，目标函数的走势恰恰相反。而线性规划的对偶定理说，原规划和它的对偶规划同时具有有限最优解，而且最优值相同。

以前教书的时候，美术系就在数学系旁边。经常去认识的美术系的教授们那里串门。在美术系图书馆里转转，也会碰上些教过的学生。

美国大学的学生，数学好的不多。美术专业的学生，数学就更差。和其它教数学的教授比，我和他们多些共同语言。所以他们很多愿意在我的课上混几个必修的普通教育学分。结果慢慢地，我手下就很有了些美术系来的学生。

这些学生数学基础虽然差，但并不缺乏想象力。反正一板一眼地读数学书不是他们的强项，我就试着结合他们的背景，开些独立学习（Independent Study）的课。打着了解数学思想方法、欣赏数学理论的幌子，大家乱侃一通，期末一人给一个A，皆大欢喜。

当时讨论的若干话题中，对偶性就是我比较喜欢一个。